Statistics for decision

Le problème est semblable à celui des moyennes (où on avait à étudier une variable quantitative).

Dans le cas des fréquences, on étudie une variable qualitative à deux modalités qui sont :

- présente un caractère donné

-ne le présente pas.

Reprenons l'exemple de Rola Kola et étudions plus particulièrement la question 1 : quelle boisson préférez-vous ? Rola ou Kola ?

Nous observons que 24 personnes sur 40 préfèrent le Rola, ce qui représente p =24/40=60% de personnes préférant le Rola sur l'échantillon, où p est la proportion de personnes préférant le Rola calculée sur l'échantillon.

Le problème est de savoir que elle est la proportion f de personnes préférant le Rola sur la population totale.

Cette quantité est bien évidemment inconnue et n'est pas calculable.

Néanmoins, nous allons essayer de savoir si f (proportion sur la population) est éloignée de p (proportion sur l'échantillon). Pour cela nous allons également construire un intervalle de confiance.

Toujours grâce au théorème central limite, nous pouvons dire que f se trouvera à a près, où a est un risque d'erreur que l'on se fixe a priori, dans l'intervalle suivant :

où est le fractile d'ordre d'une loi normale centrée réduite.

Ces fractiles se trouvent dans les tables des fractiles de la loi normale (voir A.2).

Application : si on prend un risque d'erreur de 5%, nous avons =1,96.

Avec p = 0,6 et n = 40, on a .

Donc I = [0, 6 - 0, 152; 0,6+ 0, 152].

Je peux dire donc, avec un risque d'erreur de 5%, que la proportion de personnes préférant le Rola au niveau de la population totale est comprise entre 45% et 75%.

Que peut-on tirer comme enseignements de ce résultat ?

Tout d'abord, nous nous rendons compte que le résultat d'une enquête ne peut être donné de façon ponctuelle (par exemple il est osé de dire "nous estimons que 60% des personnes préfèrent le Rola"), mais qu'il est préférable de le donner accompagné d'une précision, c'est à dire sous la forme d'un intervalle de confiance.

Nous voyons ensuite que ce résultat n'est pas très précis dans ce cas. Comment l'améliorer ? Soit en diminuant les fractiles, ce qui aura pour conséquence d'augmenter le risque d'erreur (a), soit en augmentant n, c'est à dire le nombre de personnes se trouvant dans l'échantillon. Pratiquement, cela aura une incidence sur le coût de réalisation d'une telle enquête.